[Scooby]

La spiegato oggi in classe ma con il grafico non riesco a distinguerle.
Correggetemi se sbaglio, ma riguarto le funzioni iniettive sono quelle funzioni in cui a ogni elemento dell'insieme B ( A come insieme di partenza B come insieme di arrivo eh ) corrisponde al massimo un elemento in A. Mentre quella suriettiva è quando a ogni elemento di B corrisponde almeno un elemento di A. Biettiva quando è sia suriettiva che iniettiva. Fino ad ora ho capito solo le definizioni insiemistiche ma quando devo andare a riconoscere non so. Per esempio questa è : ?

Ah faccio il 3° anno. Poi in un'esercizio sta:
y=radice di 1-x fratto radice di x+1 .. Determina il campo di esistenza delle funzioni. Li ho fatto il sistema con 1-x >= di 0 e x+1>o senza l'uguale perche al denominatore. E giusto?
Quest'altro non capisco poi: y= 2x fratto radice di x+5, -4.

Messaggio modificato da Scooby il 05 ottobre 2010 - 19:44

[Mat Smoke]

allora, per riconoscerle in un grafico puoi tracciare a mente delle rette che partono da un elemento del codominio, quindi da un elemento sull'asse delle ordinate
ora però quella funzione non è proprio un buonissimo esempio, dopo capisci perché. comunque:
per capire se è iniettiva: se questa retta incontra sempre uno e un solo punto della funzione, allora iniettiva, perché per definizione una funzione f: A->B è iniettiva se a elementi diversi di A corrispondono elementi diversi di B
quindi, nel caso di quel grafico laa funzione f(x) y=x^2-2x+2 non è iniettiva, perché quando tracci una retta partendo dall'asse y incontri due punti (a meno che non è tangente al vertice della funzione, ma ovviamente vi sono comunque infinite rette non tangenti)
per capire se è suriettiva: se la retta incontra SEMPRE un punto, allora è suriettiva. dato che se tracci una retta "più in basso" di quel grafico non incontra nessun punto, non è suriettiva
ora, presa con il grafico così la funzione y=x^2-2x+2 non è né iniettiva né suriettiva, ma SE NON SBAGLIO in realtà il codominio della parabola è limitato inferiormente quindi quella funzione è suriettiva ma non iniettiva

se fosse stata sia suriettiva che iniettiva, sarebbe stata biunivoca e sarebbe esistita una funzione inversa f'(x)


il primo esercizio va bene, non so se l'hai fatto ma devi risolvere il sistema, che come hai detto tu è dato da 1-x >= 0 e x+1 > 0, quindi x <= 1 e x > -1 quindi -1 < x <= 1
non ho capito l'ultima, è così? y=(2x/rad(x+5))-4? se sì basta fare x+5 > 0 quindi x > -5

Messaggio modificato da Mat Smoke il 05 ottobre 2010 - 22:05

[Lokrath]

Procediamo con calma.

Scooby, il 05 ottobre 2010 - 20:11 ha detto:

La spiegato oggi in classe ma con il grafico non riesco a distinguerle.
Correggetemi se sbaglio, ma riguarto le funzioni iniettive sono quelle funzioni in cui a ogni elemento dell'insieme B ( A come insieme di partenza B come insieme di arrivo eh ) corrisponde al massimo un elemento in A. Mentre quella suriettiva è quando a ogni elemento di B corrisponde almeno un elemento di A. Biettiva quando è sia suriettiva che iniettiva. Fino ad ora ho capito solo le definizioni insiemistiche ma quando devo andare a riconoscere non so. Per esempio questa è : ?

...

• Una funzione si dice iniettiva se, dati (a1,a2)€A, a1 != a2 --> f(a1) != f(a2).
  
• Una funzione si dice suriettiva su B se, per ogni b€B, esiste almeno un a€A e b = f(a).
  
• Una funzione si dice biiettiva quando è sia iniettiva che suriettiva.

• [€ : appartenenza (si, so che è l'euro ; prendimelo per buono )]
  
• [!= : diverso da]
  
• [e : congiunzione matematica]

Detto in maniera grammaticale:

• una funzione è iniettiva se, dati due elementi, appartenenti allo stesso insieme, ed essendo (essi) diversi fra loro, ed applicando loro la funzione, gli stessi elementi risultanti dovranno essere differenti (quindi non dovranno esserci risultati con comparsa molteplice; niente valori "y", od "f(x)", che compaiono per due o più volte);
  
• una funzione si dice suriettiva su un insieme, per ogni suo elemento (appartenente allo stesso), se esistono degli elementi, appartenenti ad un altro insieme, ai quali, una volta applicata la funzione, vi sia almeno una riconducibilità per ogni elemento del primo insieme considerato (la tua funzione deve estendersi, almeno una volta, per tutti i valori di "y", od "f(x)");
  
• credo che la biiettività sia molto facile da comprendere .

Analiziamo il grafico:

• è una parabola quadra, dati (x1,x2)€R e x1 != x2 può capitare che f(x1) = f(x2); la funzione considerata non è iniettiva;
  
• è una parabola quadra (), percui la funzione considerata non è suriettiva (la funzione non prenderà in considerazione tutti i valori di "y", od "f(x)"; almeno non finchè considererai come insieme di arrivo R stesso);
  
• la funzione considerata non è iniettiva e non è suriettiva, percui non è biiettiva.

Scooby, il 05 ottobre 2010 - 20:11 ha detto:

...
Ah faccio il 3° anno.
...

Iniettività, suriettività e biiettività di una funzione le ho viste per la prima volta al mio primo anno da studente universitario; fai un po' tu .

Scooby, il 05 ottobre 2010 - 20:11 ha detto:

...
Poi in un'esercizio sta:
y=radice di 1-x fratto radice di x+1 .. Determina il campo di esistenza delle funzioni. Li ho fatto il sistema con 1-x >= di 0 e x+1>o senza l'uguale perche al denominatore. E giusto?
...

(Non dovevi fare il sistema )


y = (sqrt(1-x))/(sqrt(x+1))

Può, innanzitutto, essere rivisto come:

y = sqrt((1-x)/(x+1))

La radice quadrata (o di un qualsiasi esponente pari), di un numero, esiste quando il numero (radicale o radicando) è positivo (>=0), percui la disequazione da risolvere sarà questa:

(1-x)/(x+1) >= 0

Numeratore: 1-x >= 0 --> x <= 1
Denominatore: x+1 > 0 --> x > (-1)
(il denominatore non può essere uguale a zero, altrimenti "y" non apparterrebbe ad R)

Considerando il grafico dei segni:

• per x < (-1) si ha un "+" ed un "-", percui l'intervallo è da non considerarsi;
  
• per x = (-1) si ha un "+" ed un "-", percui l'intervallo è da non considerarsi;
  
• per (-1) < x < 1 si ha un "+" ed un "+", percui l'intevallo è da considerarsi;
  
• per x = 1 si ha un "+" ed un "+", percui l'intevallo è da considerarsi;
  
• per x > 1 si ha un "-" ed un "+", percui l'intervallo è da non considerarsi.

Condizioni di Esistenza = {x€R : (-1) < x <= 1}

Scooby, il 05 ottobre 2010 - 20:11 ha detto:

...
Quest'altro non capisco poi: y= 2x fratto radice di x+5, -4.

(Immagino sia sempre il calcolo delle condizioni di esistenza della funzione)

y = ((2x)/(sqrt(x+5))) - 4

Per lo stesso ragionamento di prima, consideriamo la parte della funzione sotto radice quadrata (l'unica che potrebbe compromettere l'esistenza della funzione stessa).

x+5 > 0 --> x > (-5)

Condizioni di Esistenza = {x€R : x > (-5)}

Messaggio modificato da Lokrath il 05 ottobre 2010 - 23:32

[Scooby]

Graaazie ora mi leggo tutto bene, dopo vi posto cmq dei grafici per capire meglio
Allò, oggi ha interrogato uno in classe e gli ha disegnato questo:

Allora prima il professore ha scritto f:R-->R poi f:R+-->R poi f:R+-->R+
Pero non ho capito una cosa, graficamente la iniettiva è quando incontra un SOLO punto non importa poi se sotto o sopra tipo in questo caso sia vuoto. Suriettiva quando incontra uno o piu punti ma importa se sotto o sopra manca, giusto? (non so se mi sono spiegato) biettiva e la conseguenza e vabeh. Quindi nel caso in cui f:R-->R non è appunto iniettiva e suriettiva. Nel caso f:R+-->R (ah per R+ intendo numeri reali positivi eh) si toglie il quadrante..ma quale? Non ho capito, nell'esercizio hanno tolto il 2° quadrante , mentre nel f:R+-->R+ hanno tolto il 2° il 3° e il 4°.
no mi sa che sto sbagliano...uffa..

Messaggio modificato da Scooby il 06 ottobre 2010 - 21:33

[Lokrath]

Lokrath, il 06 ottobre 2010 - 00:26 ha detto:

...

• Una funzione si dice iniettiva se, dati (a1,a2)€A, a1 != a2 --> f(a1) != f(a2).
  
• Una funzione si dice suriettiva su B se, per ogni b€B, esiste almeno un a€A e b = f(a).
  
• Una funzione si dice biiettiva quando è sia iniettiva che suriettiva.

• [€ : appartenenza (si, so che è l'euro ; prendimelo per buono )]
  
• [!= : diverso da]
  
• [e : congiunzione matematica]

Detto in maniera grammaticale:

• una funzione è iniettiva se, dati due elementi, appartenenti allo stesso insieme, ed essendo (essi) diversi fra loro, ed applicando loro la funzione, gli stessi elementi risultanti dovranno essere differenti (quindi non dovranno esserci risultati con comparsa molteplice; niente valori "y", od "f(x)", che compaiono per due o più volte);
  
• una funzione si dice suriettiva su un insieme, per ogni suo elemento (appartenente allo stesso), se esistono degli elementi, appartenenti ad un altro insieme, ai quali, una volta applicata la funzione, vi sia almeno una riconducibilità per ogni elemento del primo insieme considerato (la tua funzione deve estendersi, almeno una volta, per tutti i valori di "y", od "f(x)");
  
• credo che la biiettività sia molto facile da comprendere .

...

Allora, dalla forma deduco che la funzione sia: "f(x) = x^2".

• f : R -> R
  (L'insieme di partenza è tutto R; stessa cosa per quello di arrivo)
  
  • Iniettività: prendiamo i valori "x1 = (-2)" ed "x2 = 2":
    
    • entrambi appartengono ad R;
      
    • (-2) != 2;
      
    • f(x1) = (-2)^2 = 4; f(x2) = 2^2 = 4; f(x1) = f(x2) = 4.
    
    Per due valori di dominio, differenti, si è verificata, almeno una volta, una uguaglianza fra due valori di codominio; perchè una funzione sia iniettiva, con due valori di dominio differenti mai si deve ottenere lo stesso valore di codominio; questa funzione non rispetta quella caratteristica, percui non è iniettiva.
    
  • Suriettività: quella funzione assume valori di codominio da zero ad infinito positivo (insomma, tutti i valori positivi con zero compreso), ma non assume valori negativi; una funzione è suriettiva se assume tutti i valori di codominio dell'insieme di arrivo prestabilito (in questo caso, tutto R); questa funzione non rispetta quella caratteristica, percui non è suriettiva.
    
  • Biiettività: la funzione non è iniettiva e non è suriettiva, percui non è biiettiva.
  
  
• f : R+ -> R
  (L'insieme di arrivo lo conosciamo; l'insiema di partenza, così scritto, lo assumiamo come il sottoinsieme [0, (infinito positivo)) appartenente ad R)
  In questo caso, i quadranti "2" e "3", saranno eliminati dalla nostra analisi (in quanto abbiamo stabilito che la funzione non sarà definita negli stessi; abbiamo "accorciato" l'asse delle ascisse "x"); con la mano, copri i quadranti di sinistra.
  
  • Iniettività: mi sembra ovvio che per una qualsiasi coppia di valori di dominio esclusivamente positivi (zero compreso) e diversi fra loro, si otterranno due diversi valori di codominio; saresti costretto a prendere lo stesso valore di dominio due volte per ottenere due valori di codominio uguali, percui la funzione è iniettiva.
    
  • Suriettività: l'insieme di arrivo è tutto R e la funzione non assume tutti i valori di codominio; non è suriettiva.
    
  • Biiettività: la funzione è iniettiva, ma non è suriettiva percui non è biiettiva.
  
  
• f : R+ -> R+
  (Ancora una volta, l'insieme di partenza ed arrivo, sono gli stessi; consideriamo l'elemento {0} sempre incluso nel ragionamento)
  In questo caso tutto si limiterà esclusivamente al primo quadrante, in quanto abbiamo "accorciato" anche l'insieme di arrivo.
  
  • Iniettività: la limitazione dell'insieme di arrivo non ha cambiato le carte in tavola; è iniettiva.
    
  • Suriettività: adesso, l'insieme di arrivo, è esclusivamente R+ (zero compreso), insieme nel quale la funzione assume tutti i valori di codominio percui è suriettiva.
    
  • Biiettività: la funzione è inietiva e suriettiva, percui è biiettiva.

Una volta definita da R+ ad R+, si potrà definire una funzione inversa f^(-1) la quale sarà chiamata "radice quadrata" e darà come risultato il valore di dominio originale; per via delle stesse limitazioni, tale radice quadrata sarà però applicabile esclusivamente ai valori di codominio maggiori od uguali a zero.
I valori di dominio risultanti saranno invece positivi, uguali a zero...o negativi; perchè mai dovrebbero essere negativi?
Se il mio insieme di partenza era R+, non dovrei tornare in R+?
Verissimo, però se tu cominciassi da capo e limitassi la funzione f(x) = x^2 definendola da R- -> R+, otterresti la stessa biiettività, solo simmetrica rispetto all'asse delle ordinate (perchè la funzione considerata è pari), percui elevando al quadrato un valore negativo, od un valore positivo, otterrai un valore positivo; radicando un valore positivo otterai un valore positivo oppure un valore negativo (dipende da quello che stai facendo: ti potrebbe interessare così come non potrebbe).

Tale costrutto è valido per tutti gli esponenti pari, percui è plausibile parlare di radici ennesime con n = 2k e k€N\{0}.
Per le parabole di esponente dispari (n = 2k+1 con k€N\{0}) non vi è bisogno di tutta questa costruzione perchè sono biiettive già per conto loro; difatti tu (per esempio) fai la radice cubica di numeri positivi, neutri e negativi senza preoccuparti di eventuali condizioni di esistenza.

[Scooby]

Ti amo ti vi bi sei un amore lokrath, me lo devo leggere bene dopo
Si diciamo che ci ho capito qualcosa di piu, non mi resta altro che andare a confermare dal prof. Sei mitico lokrath

Messaggio modificato da Scooby il 09 ottobre 2010 - 11:42

[Scooby]

Ei raga date un'occhiata a sto esercizio :

a) determina i corrispondenti campi di esistenza A, B e la loro intersezione C. E questo l'ho fatto e semplice, campo di esistenza di A devo fare il radicando >= di 0 e mi esce -4<=x=>4 e vabeh. B non ce ne bisogno quindi tutto R, C di conseguenza sara uguale ad A, C=A .
ora qua
b ) stabilisci per quali x€C risulta f(x)>=g(gx)
quindi io ho fatto il sistema di -4<=x=>4 e appunto f(x)>=g(x) ma non riesco a risolverlo.

Messaggio modificato da Scooby il 12 ottobre 2010 - 17:47

[Lokrath]

Scooby, il 12 ottobre 2010 - 18:47 ha detto:

...
-4<=x<=4
...

Fix'd
Fidati; è meglio rappresentarla così la comprensione fra due elementi.

Scooby, il 12 ottobre 2010 - 18:47 ha detto:

...
f(x)>=g(gx)
...
f(x)>=g(x)
...

Spero tu intenda f(x) >= g(x), altrimenti le cose si complicano.
(g(g(x)) = (x + |x|) + |x + |x||, )

-------------------------------------------------------------------------------------------------------

Cominciamo.

f(x) >= g(x)
sqrt(16 - (x^2)) >= x + |x|

Come hai detto bene tu:
C.E. = {x€R : -4 <= x <= 4}

Questa disequazione è dura da risolvere; la regola (dovuta al costrutto basato sulla biiettività di una parabola con esponente pari; quello che ti ho spiegato nel precedente messaggio ), nel caso in cui l'esponente della radice sia pari, è questa (la adatterò al tuo caso):

(f(x))^(1/n) >(=) g(x), n=2k, k€N\{0}

{g(x) < 0          {g(x) >= 0
{f(x) >= 0     U   {f(x) >= 0
                   {f(x) >(=) (g(x))^n

(=) -> Indica la possibilità che la disequazione non sia "stretta"
(In genere, "f(x)" è al posto di "g(x)" mentre "g(x)" è al posto di "f(x)")

Se guardi attentamente, "f(x) >= 0" non sono altro che le C.E. secondo le quali il primo membro della disequazione possa appartenere all'insieme R, percui nel caso in cui le C.E. dovessero variare (Es: la radice stava al denominatore, c'è un logaritmo "in giro" per la disequazione, ecc...) puoi rivedere la regola in questa maniera:

(f(x))^(1/n) >(=) g(x), n=2k, k€N\{0}

{g(x) < 0          {g(x) >= 0
{C.E.          U   {C.E.
                   {f(x) >(=) (g(x))^n

(=) -> Indica la possibilità che la disequazione non sia "stretta"
(In genere, "f(x)" è al posto di "g(x)" mentre "g(x)" è al posto di "f(x)")

Ora possiamo realizzare che l'esercizio è folle:

{x + |x| < 0        {x + |x| >= 0
{-4 <= x <= 4   U   {-4 <= x <= 4
                    {16 - (x^2) >= (x + |x|)^2

Spero tu sia convinto del fatto che "(|x|^2) = x^2", perchè una volta elevato con esponente pari sarà sempre positivo, a prescindere dal fatto che fosse negativo o positivo.

{x + |x| < 0        {x + |x| >= 0
{-4 <= x <= 4   U   {-4 <= x <= 4
                    {16 - (x^2) >= 2(x^2) + 2x|x|

Quando si ha una equazione, o disequazione, con il modulo dell'incognita, essa si risolve mediante due sistemi:

• nel primo si terrà conto dell'andamento della equazione, o disequazione, nel caso in cui l'incognita sia negativa con zero escluso;
  
• nel secondo si terrà conto dell'andamento della equazione, o disequazione, nel caso in cui l'incognita sia positiva con zero incluso.

Una volta trovate le soluzioni dei singoli sistemi, esse dovranno essere unite per trovare le soluzioni della singola equazione, o disequazione.

Visto questo chiarimento, la risoluzione procede in questa maniera (inizialmente, mi dedicherò solo alla prima disequazione di entrambi i sistemi):

{{x < 0      U  {x >= 0               {{x < 0       U   {x >= 0
{{x - x < 0     {x + x < 0            {{x - x >= 0      {x + x >= 0
{-4 <= x <= 4                   U     {-4 <= x <= 4
                                      {16 - (x^2) >= 2(x^2) + 2x|x|


{{x < 0      U  {x >= 0               {{x < 0       U   {x >= 0
{{0 < 0         {2x < 0               {{0 >= 0          {2x >= 0
{-4 <= x <= 4                   U     {-4 <= x <= 4
                                      {16 - (x^2) >= 2(x^2) + 2x|x|


{{x < 0      U  {x >= 0               {{x < 0       U   {x >= 0
{{Ø             {x < 0                {{R               {x >= 0
{-4 <= x <= 4                   U     {-4 <= x <= 4
                                      {16 - (x^2) >= 2(x^2) + 2x|x|


{Ø  U  Ø                    {x < 0  U  x >= 0
{-4 <= x <= 4       U       {-4 <= x <= 4
                            {16 - (x^2) >= 2(x^2) + 2x|x|


{Ø                          {R
{-4 <= x <= 4       U       {-4 <= x <= 4
                            {16 - (x^2) >= 2(x^2) + 2x|x|


Ø  U  {-4 <= x <= 4
      {16 - (x^2) >= 2(x^2) + 2x|x|


{-4 <= x <= 4
{16 - (x^2) >= 2(x^2) + 2x|x|

Vediamo di chiarire qualche punto:

• "0 < 0" non è una disequazione, percui la sua soluzione è l'insieme vuoto;
  
• "0 >= 0" è una disequazione vera per qualsiasi valore di "x" appartenente all'insieme R, difatti lo stesso insieme ne è la soluzione;
  
• quando un sistema non ha soluzioni, la sua soluzione è l'insieme vuoto;
  
• mettere a sistema delle disequazioni con l'insieme R è poco utile, percui tale informazione può non essere considerata;
  
• unire le soluzioni di qualcosa con l'insieme vuoto, non apporta modifiche all'insieme delle soluzioni originariamente considerato.

Fatte queste considerazioni, notiamo che dalla regola generale ci siamo ridotti allo stesso sistema a cui tu hai dedicato i tuoi sforzi (che bella la matematica, eh? ), procediamo quindi alla risoluzione della seconda equazione del sistema rimanente, per la quale dovremo considerare i valori assunti dal modulo dell'incognita (come per gli altri due sistemi, insomma):

{-4 <= x <= 4
{16 - 3(x^2) >= 2x|x|


{-4 <= x <= 4
{{x < 0                    U   {x >= 0
{{16 - 3(x^2) >= -2(x^2)       {16 - 3(x^2) >= 2(x^2)


{-4 <= x <= 4
{{x < 0              U   {x >= 0
{{16 - (x^2) >= 0        {16 - 5(x^2) >= 0


{-4 <= x <= 4
{{x < 0                 U   {x >= 0
{{(4 - x)(4 + x) >= 0       {5(x^2) <= 16


{-4 <= x <= 4
{{x < 0          U   {x >= 0
{{-4 <= x <= 4       {x^2 <= 16/5


{-4 <= x <= 4
{{x < 0          U   {x >= 0
{{-4 <= x <= 4       {(x - sqrt(16/5))(x + sqrt(16/5)) <= 0


{-4 <= x <= 4
{{x < 0          U   {x >= 0
{{-4 <= x <= 4       {-sqrt(16/5) <= x <= sqrt(16/5)

sqrt(16/5) = (4sqrt(5))/5 = 1,788854382...

{-4 <= x <= 4
{{x < 0          U   {x >= 0
{{-4 <= x <= 4       {-((4sqrt(5))/5) <= x <= (4sqrt(5))/5



{-4 <= x <= 4
{-4 <= x < 0  U  0 <= x <= (4sqrt(5))/5


{-4 <= x <= 4
{-4 <= x <= (4sqrt(5))/5

Per il valore che ho evidenziato prima dell'ultimo blocco, l'insieme delle soluzioni è:

S = {x€R : -4 <= x <= (4sqrt(5))/5}

-------------------------------------------------------------------------------------------------------

E' bello vedere come alcune questioni matematiche delle superiori (io) le abbia viste solo da un anno .

[Scooby]

grazie